JAKOB BERNOULLI

El padre de Jacob Bernoulli 's, Nicolaus Bernoulli (1623-1708) heredó el negocio de las especias en Basilea que había sido creado por su propio padre, primero en Amsterdam y luego en Basilea. La familia, de origen belga, eran refugiados que huyen de la persecución por parte de los gobernantes españoles de los Países Bajos. Felipe, el rey de España, había enviado al Duque de Alba a los Países Bajos en 1567 con un gran ejército para castigar a quienes se oponen a la dominación española, para hacer cumplir la adhesión a la religión católica, y para restablecer la autoridad de Felipe. Alba establecióel Consejo de los Trastornos que era un tribunal que condenó a más de 12.000 personas, pero la mayoría, como la familia Bernoulli, que eran de la fe protestante, huyó del país.

Nicolaus Bernoulli era un ciudadano importante de Basilea, al ser un miembro del consejo de la ciudad y un magistrado. La madre de Jacob Bernoulli también procedía de una importante familia de Basilea de banqueros y consejeros locales. Jacob Bernoulli era el hermano de Johann Bernoulli y el tío de Daniel Bernoulli . Se vio obligado a estudiar filosofía y teología por sus padres, que muy resentido, y se graduó en la Universidad de Basilea, con una maestría en filosofía en 1671 y una licenciatura en teología en 1676.

Durante el tiempo en que Jacob Bernoulli fue tomando sus títulos universitarios que estaba estudiando matemáticas y astronomía en contra de los deseos de sus padres. Vale la pena señalar que se trataba de un patrón típico de muchos de la familia Bernoulli que hizo un estudio de las matemáticas a pesar de la presión de hacer una carrera en otras áreas. Sin embargo Jacob Bernoulli fue el primero en ir por este camino así que para él era bastante diferente, ya que no existía una tradición de las matemáticas en la familia antes de que Jacob Bernoulli. Más tarde, los miembros de la familia debe haber sido muy influido por la tradición de estudio de las matemáticas y la física matemática.

En 1676, después de tomar el título de la teología, Bernoulli se trasladó a Ginebra, donde trabajó como profesor particular. Luego viajó a Francia el gasto dos años estudiando con los seguidores de Descartes que estaban dirigidos en este momento por Malebranche . En 1681 Bernoulli viajó a los Países Bajos, donde se reunió con muchos matemáticos incluyendo Hudde . Continua sus estudios con los principales matemáticos y científicos de Europa se fue a Inglaterra, donde, entre otros, se reunió con Boyle y Hooke . En este tiempo él estaba profundamente interesado en la astronomía y produjo una obra dando una teoría incorrecta de los cometas. Como resultado de sus viajes, Bernoulli comenzó una correspondencia con muchos matemáticos que llevaba el largo de muchos años.

Jacob Bernoulli regresó a Suiza y enseñó mecánica en la Universidad de Basilea desde 1683, dando una serie de conferencias importantes sobre la mecánica de sólidos y líquidos. Desde su licenciatura en teología era que hubiera sido natural que acuden a la Iglesia, pero a pesar de que se le ofreció una cita en la Iglesia que él lo rechazó. El verdadero amor de Bernoulli era para las matemáticas y la física teórica, y fue en estos temas que él enseñó e investigó. Durante este período estudió las obras más importantes matemáticos de su época, como Descartes 'Geometría y van Schooten 's material de adicional en la edición latina. Jacob Bernoulli también estudió la obra de Wallis y Barrow ya través de ellas se interesó por la ínfima geometría. Jacob comenzó a publicar en la revista Acta Eruditorum que se estableció en Leipzig en 1682.

En 1684, Jacobo Bernoulli se casó con Judith Stupanus. Ellos iban a tener dos hijos, un niño que se le dio el nombre de su abuelo de Nicolás y una hija. Estos niños, a diferencia de muchos miembros de la familia Bernoulli, no vaya a convertirse en matemáticos o físicos.

Uno de los eventos más significativos relacionados con los estudios matemáticos de Jacob Bernoulli ocurrió cuando su hermano menor, Johann Bernoulli , comenzó a trabajar en temas de matemáticas. Juan le dijo a su padre para estudiar medicina, pero mientras él estaba estudiando ese tema le pidió a su hermano Jacob para que le enseñara matemáticas. Jacob Bernoulli fue nombrado profesor de matemáticas en Basilea en 1687 y los dos hermanos comenzaron a estudiar el cálculo presentado por Leibniz en su documento de 1684 sobre el cálculo diferencial en Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus ... publicado en Acta Eruditorum. También estudiaron las publicaciones de von Tschirnhaus . Debe entenderse que la de Leibniz 's publicaciones sobre el cálculo eran muy oscuras para los matemáticos de la época y los Bernoulli fueron los primeros en tratar de entender y aplicar de Leibniz 's teorías.

Aunque Jacob y Johann trabajaban en problemas similares de su relación estaba a punto de cambiar de uno de los colaboradores de uno de los rivales. Johann Bernoulli s 'cuenta fueron la primera causa de los ataques de Jacob en él y Jacob escribió que Johann era su alumno cuyos logros sólo fueron a repetir lo que su maestro le había enseñado. Por supuesto, esto fue una declaración manifiestamente injusto. Jacob siguió atacando a su hermano en la impresión de una forma vergonzosa e innecesaria, sobre todo después de 1697. Sin embargo, no se reservó las críticas públicas por su hermano. Fue crítico de las autoridades de la universidad de Basilea y de nuevo fue muy público en la toma de declaraciones críticas que, como era de esperar, le dejó en una situación difícil en la universidad. Jacob probablemente sentía que Johann fue el matemático más potente de los dos y, esta herida ya que la naturaleza de Jacob significaba que él siempre tenía que sentir que estaba recibiendo elogios desde todos los lados. Hofmann escribe: "La sensibilidad, la irritabilidad, una pasión mutua por la crítica, y una exagerada necesidad de reconocimiento alejó a los hermanos, de los cuales Jacob tenía el intelecto más lento pero más profundo".

Como lo sugiere esta cita los hermanos eran igualmente culpables en su pelea. Johann hubiera gustado que la cátedra de matemáticas en Basilea, que Jacob celebró y, ciertamente, resentido por tener que mudarse a Holanda en 1695. Este fue otro factor en la ruptura completa de relaciones en 1697.

Por supuesto, la disputa entre los hermanos sobre quién podría obtener el mayor reconocimiento fue particularmente estúpida en el sentido de que tanto los aportes a las matemáticas de la mayor importancia. Ya sea que la rivalidad les llevó a emprender a cosas más grandes o si se podría haber logrado más si hubieran continuado su colaboración inicial, es imposible de decir. Ahora vamos a examinar algunas de las principales contribuciones hechas por Jacob Bernoulli en una etapa importante en el desarrollo de las matemáticas después de Leibniz trabajo 's en el cálculo.

Primeras contribuciones importantes de Jacob Bernoulli fueron unos documentos sobre los paralelismos entre la lógica y el álgebra publicados en 1685, el trabajo sobre la probabilidad en 1685 y la geometría en 1687. Sus resultados en geometría proporcionaron un sistema para dividir cualquier triángulo en cuatro partes iguales con dos líneas perpendiculares.

En 1689 había publicado importantes trabajos sobre las series infinitesimales y su ley de los grandes números en teoría de la probabilidad. La interpretación de la probabilidad como relativa frecuencia dice que si un experimento se repite un número grande de veces entonces la frecuencia relativa con la que ocurre un evento es igual a la probabilidad del evento. La ley de los grandes números es una interpretación matemática de este resultado. Jacob Bernoulli publicó cinco tratados de las series infinitas entre 1682 y 1704. Los dos primeros de estos resultados que figuran muchos, como consecuencia fundamental de que Σ (1 / n) diverge, lo que Bernoulli creía que eran nuevos, pero en realidad había sido probado por Mengoli 40 años antes. Bernoulli no pudo encontrar una forma cerrada para Σ (1 / n 2), pero se ha demostrado que convergió a un límite finito menor que 2. Euler fue el primero en hallar la suma de esta serie en 1737. Bernoulli también estudió las series exponenciales que salió de examinar el interés compuesto.

En mayo de 1690 en un artículo publicado en Acta Eruditorum, Jacob Bernoulli demostró que el problema de la determinación de la isócrono es equivalente a resolver una de primer orden no lineal ecuación diferencial . El isócrono, o curva de descenso constante, es la curva a lo largo de la cual una partícula descenderá por gravedad desde cualquier punto a la parte inferior en exactamente al mismo tiempo, no importa lo que el punto de partida. Había sido estudiado por Huygens en 1687 y Leibniz en 1689. Después de encontrar la ecuación diferencial, Bernoulli entonces resuelto por lo que ahora llamamos separación de variables. El papel de Jacob Bernoulli de 1690 es importante para la historia del cálculo, ya que el término integral aparece por primera vez con su significado de integración. En 1696 Bernoulli resolvió la ecuación, ahora se llama "la ecuación de Bernoulli",  x '= p (x) y + q (x) y n

y Hofmann describe esta parte de su trabajo como:  

... prueba de un trabajo cuidadoso y crítico de Bernoulli en los más antiguos, así como de las contribuciones a las matemáticas infinitesimales contemporáneos y de su perseverancia y capacidad analítica en el tratamiento de problemas especiales pertinentes, incluso las de tipo mecánico-dinámico.

Jacob Bernoulli también descubrió un método general para determinar evoluciona de una curva como la envolvente de los círculos de curvatura. También investigó las curvas cáusticas y, en particular estudió estas curvas asociadas de la parábola , la espiral logarítmica y epicicloides alrededor de 1692. La lemniscata de Bernoulli fue concebido por primera vez por Jacob Bernoulli en 1694. En 1695 investigó el problema puente levadizo que busca la curva necesaria para que un peso deslizante a lo largo del cable de guarda siempre el puente levadizo equilibrada.

Obra más original de Jacob Bernoulli fue Ars Conjectandi publicado en Basilea en 1713, ocho años después de su muerte. La obra estaba incompleta en el momento de su muerte, pero sigue siendo una obra de la mayor importancia en la teoría de la probabilidad. En el libro, Bernoulli revisó el trabajo de otros en la materia, en particular, van Schooten , Leibniz , y Prestet. Los números de Bernoulli aparecen en el libro en una discusión de la serie exponencial. Muchos ejemplos se dan en cuánto se podría esperar ganar en varios juegos de azar. Hay ideas interesantes sobre lo que realmente es la probabilidad: 

... la probabilidad como un grado mesurable de certeza; necesidad y casualidad; expectativa moral frente matemática, a priori, una probabilidad a posteriori, la expectativa de ganar cuando los jugadores se dividen de acuerdo a la destreza, respecto de todos los argumentos disponibles, su valoración, y su evaluación calculable; la ley de un gran número ...

Hofmann resume las contribuciones de Jacob Bernoulli como sigue:  

Bernoulli un gran avance en el álgebra, el cálculo infinitesimal, el cálculo de variaciones , la mecánica, la teoría de la serie, y la teoría de la probabilidad. Fue terco, obstinado, agresivo, vengativo, lleno de sentimientos de inferioridad, y sin embargo, firmemente convencido de sus propias habilidades. Con estas características, necesariamente tenía que chocar con su hermano igualmente dispuestas. Él sin embargo, que ejerce la influencia más duradera en el segundo.

Bernoulli fue uno de los promotores más importantes de los métodos formales de análisis superior. Astucia y la elegancia rara vez se encuentran en su método de presentación y de expresión, pero no hay un máximo de integridad.

Jacob Bernoulli continuó manteniendo la cátedra de matemáticas en Basilea hasta su muerte en 1705 cuando el presidente fue ocupado por su hermano Johann. Jacob siempre había encontrado las propiedades de la espiral logarítmica que es casi mágico y que había solicitado que se talló en su lápida con la inscripción latina Eadem Mutatá resurgo que significa "he de levantarme de la misma, aunque ha cambiado".